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来源:网络 | 2008-9-22 | (有3719人读过)
高等数学是理工类、经管类专业的基础课，也是报考工科、管理、经济类硕士研究生的必考科目。不少学生对学习高等数学有畏难情绪，我想以具体知识为例介绍自己的一些经验，实践表明这对于学习高等数学以及线性代数、概率统计、工程数学等大学数学课是有助益的。
一、重视基础知识的学习和基本能力的发展
高等数学的基础知识是指它所涉及的基本概念、基本理论和基本方法；基本能力则是指在学习知识的同时还要培养和发展学习能力，它包括与数学有关的运算能力、逻辑推理能力和空间想象能力，以及所谓“一般能力”，例如观察、记忆、理解、应用、分析能力等。
基础知识是构成数学知识系统的基本框架。人的知识应当是系统而有序地分类储存在大脑中的，这样有利于需要时能迅速地将其搜索到。通常可以围绕一个基本概念、一种基本理论或方法形成一个知识点，而且许多知识点之间又有着内在联系，这些知识点的有机联结最终形成一个科学、合理的知识体系。
有一种说法：知识分子一生用到的知识中，大学期间所学的不超过20%，其余80%要靠边工作边学习来获得（终身学习的意义即在于此），因此大学期间主要学两样东西：基础知识和学习方法。宽厚的基础知识使你能继续学习，较强的学习能力使你会学习，并且学得更好。
二、关于学习高等数学的建议
为了便于读者理解，以下陈述均结合高等数学中“数列极限”的内容进行。
1、理解基本概念
（1）了解概念产生的背景和过程
[例1]数列极限概念的背景：古埃及人划分不规则边界的土地问题；银行存款连续复利计算问题；用正多边形逼近圆以计算圆的面积问题等。
多了解一些背景知识有利于对概念的理解，能提高学习兴趣，学过之后可以更好地运用它去解决问题。例如理解数列极限概念对学习定积分和无穷级数中有重要意义。
（2）掌握概念的本质属性
能用自己的话准确地表述一个概念而不是只会背诵定义，是理解概念的重要表现，为此还要从多角度对其进行辨析。
[例2] 关于数列的极限存在即 ，判断以下命题的真假：
（a）当项数充分大时，数轴上表示数列的点与点 的距离可以任意小 .
（b）若数轴上点 的任何邻域外至多只有该数列的有限多个点 .
（c）若数轴上点 的任何邻域内都有该数列的无限多个点 .
（d）若 ，则点 与点 的距离愈来愈近.
（e）若 ，则 必须单调地趋向于 吗？
（f）若 ，则 可以取到 吗？
（3）清楚概念与相近概念的内在联系和本质区别。通过概念间的比较和联系能加深对概念的理解。
[例3]什么情况下可以借助函数的极限计算数列极限？数列极限都能作为函数极限的特例来计算吗？
（4）清楚概念的外延。知道哪些对象属于它和哪些不属于它，有利于对概念分类记忆和理解。以数列极限为例，要知道数列极限不存在应如何表述？有几种典型情况——数列是无穷大，或极限不存在也不是无穷大，例如数列 等。
（5）掌握概念的主要性质。这是由概念的定义直接导出的结论，掌握它们有利于理解概念和解决问题。数列极限的主要性质有：极限存在则唯一，局部有界性，局部保号性。
[例4]数列各项均大于零且极限存在，其极限也是正数吗？
（6）思考定义的合理性。定义所描述的对象是否存在？这样定义是否合理？这与前述“二、1、（1）了解概念产生的背景和过程”是配套的。
[例5]函数极限 的定义中为什么不要求 一定要取到 ？
（7）掌握运用定义及其性质解决问题的方法。概念的定义和性质可以直接解决问题，例如用定积分的定义计算某些特殊数列的极限或判断某些特殊数项级数的收敛性。
[例6]用定积分定义计算极限
[例7]判断级数 的收敛性。
2、掌握基本定理和基本方法
（1）了解条件和结论的关系。条件是充分的还是必要的？定理证明的主要思路是什么？条件有所变化时对结论有何影响？定理的逆命题是真是假？若为真能否证明？若为假能否举出反例？
[例8]“两数列之和的极限等于各自极限之和”吗？一个极限存在与一个极限不存在的两数列之和或积的极限还存在吗？两个极限都不存在的数列之和的极限一定不存在吗？
（2）清楚定理主要用于解决什么问题以及如何运用。这是非常重要的学习内容，必须通过解题练习和学习后继相关知识后才能有更完整、清晰的认识，因此学习者要注意归纳总结。
[例9]数列 的极限如何计算？直接在所给等式两边取极限可以吗？若不可，当用何种方法？若用单调有界准则时先证单调性还是先证有界性？
（4）通过足够的练习掌握定理和方法。除了做那些直接套用结论就能解决的题目之外，还要做需要对问题的条件或结论进行一定的转换才能解决的题目，这样才可能对基本理论和方法有更清楚的理解，并真正掌握这些理论和方法。
[例10]结论 是怎样得到的？推导中为什么要用 的最高次幂遍除各项？怎样用此法求极限
3、重视总结和复习
每次课后都要认真复习，这是目前被许多学生忽视的学习过程。通过复习——阅读教材、笔记和参考书，以及将课上例题自己再解答一次，应能说出今天讲了哪些内容？重点、难点是什么？自己接受了其中哪些内容？运用知识解决问题的水平如何？还有什么问题，怎样解决（自己思考或求教别人）？通常应当用与上课时间相等的时间复习。
在完成了一个阶段（例如一章）的学习后，应对学过的知识进行归纳和总结，因为知识不可能自动形成有条理的东西存入大脑，要做到系统化，简单的方法就是将当前学到的内容整理归类，并注意同类知识内部以及和其他类别知识的联系，这样有利于从宏观上、整体上掌握知识。
[例11] 求数列极限的常用方法。（1）单调有界准则；（2）夹逼准则；（3）极限运算法则；（4）借助函数极限计算（包括洛必达法则）；（5）用定积分定义计算。
4、独立完成作业
做作业的主要目的是熟悉和巩固学习过的理论知识，而且通过作业能发现自己在理论知识学习中的不足。由于作业中的问题不一定都能直接套用理论就能解决，因此这是一次理论与实践结合的过程。必须独立完成作业，不要一旦不会做题就翻看教材中相关例题的解答甚至照搬。对于实在做不出的题目，应当带着自己的问题和思路与别人讨论，使其最终得到解决。无论如何都不要抄袭别人的作业。即使看现成的解答，也要弄懂人家是怎么做的，为什么这样做，然后自己独立地做一次。
5、敢提问题，会提问题
高水平的专家和负责任的教师通过教材、资料和教学告诉学生的东西绝大部分是正确的，因此我们首先要认真地“读”和“听”，但是又不能迷信，即认为他们说的都是真理。为此大学生要养成勤于思考和大胆提问的习惯，不要担心提出的问题有错误、太幼稚或者得不到解答，即使这个人不愿意回答或不能回答或回答不令你满意，也还可以再去问别人或干脆自己查资料。不过这里确实存在着如何提问的问题，我的经验是自己先有一个初步看法，然后再和别人讨论，这样往往有效果，因为这时问答双方在学术面前的地位是平等的。
一定要形成求真务实的学风，不要轻易地放过哪怕是很小的问题。
以上是本人通过学习和教学积累的经验，用于指导部分同学的学习确有成效，可供参考。
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